1 -2 +3 -4 +5

Em matemática a expressão, 1 − 2 + 3 − 4 + … é uma série infinita cujos termos são números inteiros, que vão alternando seus sinais. Utilizando a notação matemática para adição, a soma dos m primeiros termos da série se expressa como:

A série infinita diverge, no sentido que a seqüência de suas somas parciais (1, −1, 2, −2, …) não tende a nenhum limite finito. De forma equivalente, poder-se-ia dizer que 1 − 2 + 3 − 4 + … não possui soma no sentido usual do termo.
Contudo, em meados do século XVIII, Leonhard Euler descobriu a seguinte relação qualificando-a de paradoxal:

Foi somente muito tempo depois, que se chegou a uma explicação rigorosa desta relação. Até o começo da década de 1890, Ernesto Cesàro e Émile Borel, entre outros, pesquisaram métodos bem definidos para atribuir somas generalizadas às séries divergentes – incluindo novas interpretações dos intentos realizados por Euler. Muitos destes métodos denominados da soma atribuem a (1 − 2 + 3 − 4 + …) uma "soma" de 1⁄4. O método da soma de Cesàro é um dos poucos métodos que não soma a série 1 − 2 + 3 − 4 + …, por isso, esta série é um exemplo de um caso onde deve utilizar-se um método mais robusto como, por exemplo, o método da soma de Abel.
A série 1 − 2 + 3 − 4 + … encontra-se relacionada com a série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + …. Euler analisou estas duas séries como casos especiais de (1 − 2n + 3n − 4n + …) para valores de n aleatórios, uma linha de investigação que estende sua contribuição ao problema da Basiléia e conduz às equações funcionais do que conhecemos hoje como a função eta de Dirichlet e a função zeta de Riemann.

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Relações heurísticas da soma

As explicações mais simples que relacionam 1 − 2 + 3 − 4 + … com o valor 1⁄4 são extensões de resultados relacionados com a série 1 − 1 + 1 − 1 + ….

Estabilidade e linearidade
Dado que os termos (1, −2, 3, −4, 5, −6 …) seguem um padrão simples, pode-se expressar a série 1 − 2 + 3 − 4 + … como uma versão transformada de si mesma e resolver a equação resultante para obter um valor numérico. Supondo que fosse correto expressar s = 1 − 2 + 3 − 4 + … para algum número s, as seguintes relações levam a mostrar que s = 1⁄4:


Somando 4 cópias de 1 − 2 + 3 − 4 + …, utilizando unicamente deslocamentos e somando termo a termo obtém-se 1.

s = 1 − 2 + 3 − 4 + …
s= (1 − 1 + 1 − 1 + … ) + (0 − 1 + 2 − 3 + … )
s= h − s,

onde h é a "soma" da série:
h = 1 − 1 + 1 − 1 + …
h= 1 − (1 − 1 + 1 − … )
h= 1 − h.

Resolvendo as equações h = 1 − h e s = h − s obtém-se que h = 1⁄2 e s = (1⁄2) // h = 1⁄4.

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